• Põhiline
  • Wiki
  • Essee: Gödeli mittetäielikkuse teoreem lihtsalt seletati

Essee: Gödeli mittetäielikkuse teoreem lihtsalt seletati

Essay.svg See essee on autor Tetronian .
See ei kajasta tingimata RationalWiki's väljendatud seisukohti Missioon , kuid me tervitame paljude ideede arutelu.
Kui pole teisiti öeldud, on see originaalsisu, mis on välja antud CC-BY-SA 3.0 või mis tahes hilisem versioon. Vaata RationalWiki: Autoriõigused .
Kommenteerige julgelt jutuleht , mis on ilmselt palju huvitavam ja võib kajastada laiemat RationalWiki toimetajate mõtteid.

Rationalwiki leht Gödeli mittetäielikkuse teoreemid teeb teoreemide olulisuse selgitamiseks head tööd, kuid see ei anna väga intuitiivset selgitust selle kohta, mis need on. Selles essees püüan teoreemi selgitada lihtsalt arusaadavalt, ilma igasuguse matemaatikata ja ainult numbriteooria mööduva mainimiseta.


1. selgitus: aususe ja täielikkuse tõotus

Kujutage ette, et pean andma püha tõotuse: aususe ja täielikkuse tõotuse. Sellel tõotusel on kaks tingimust:



  1. Kui mulle antakse avaldus ja see on vale, siis maei saaütle see välja.
  2. Kui mulle antakse avaldus ja see on tõsi, siis mapeabütle see välja.


See näib olevat range, kuid teostatav ülesanne; tundub loogiline väita, et saan neid reegleid rakendada kõigi võimalike avalduste suhtes, millega kokku puutun. (Pidage seda tunnet meeles: see on oluline.) Vaatame lihtsat näidet:


(Pilves päeval)

  • Mu sõber: Väljas on pilves ilm.
  • Mina: Väljas on pilves ilm.
  • Mu sõber: On päikseline.
  • I: ...


Lihtne, eks? Vaatame nüüd veidi keerulisemat näidet:




(Pilves päeval)


  • Mu sõber: Võin ausalt öelda, et väljas on pilves ilm.
  • Mina: Võin ausalt öelda, et on pilves.
  • Mu sõber: Ma ei saa ausalt öelda 'väljas on päikesepaisteline aeg'.
  • Mina: Ma ei saa ausalt öelda 'väljas on päikesepaisteline aeg'.


Kas saate aru, miks ma oskan öelda teise lause? Kui ei, siis vaatame esimest üksikasjalikumalt. Mu sõber ütleb: 'Ma võin öelda, et' pilves on välja ', mis on sama, mis öelda:' On pilves, on tõsi. ' Kuna see lause tervikuna vastab tõele, on mul lubatud (tegelikult - minavaja teha) Ütle seda. Teises lauses ütleb ta: 'Ma ei saa öelda, et' väljas on päikseline ', mis on sama, mis öelda:' Väljas on päikseline 'on vale.' Kuna see lause tervikuna vastab tõele, pean selle ütlema.

Sellegipoolest näib kindlasti, et minu tõotuse reegleid saab rakendada igal konkreetsel juhul, ükskõik kui keerulise kõlaga. Siit aga ütles Gödel ei. Tema sõnul on mõned avaldused, mis näitavad, et on võimatu olla nii täiesti täpne kui ka täiesti universaalne (st osata minu tõotust kõigi väidete suhtes rakendada). Kuidas ta seda näitas? Vaatame veel ühte vestlusnäidet, kus mu sõber asendatakse kavala Gödeliga:



  • Gödel: Kujutage ette lauset G, mis võrdub sõnaga: 'Ma ei saa kunagi öelda, et G on tõsi.'


Nüüd seisan silmitsi tõsise probleemiga. Kui ütlen tsitaatides Gödeli lause, siis onvale, kuna mategiöelge: 'Ma ei saa kunagi öelda, et G on tõsi.' See tähendab, et ma ütlesin vale väite, mis on vastuolus minu tõotuse reeglitega. Aga kui ma vaikin, siis on '' Ma ei saa kunagi öelda, et G 'on tõsi'tõene väideja siis rikun ma tõotust, sest väidetavalt ütlen seda kuuldes alati tõe.

Segaduses? Jaotame selle:



  • Kui ma ütlen G, mis on '' Ma ei saa kunagi öelda, et G on tõsi ', siis G onvaleja ma olen reegleid rikkunud.
  • Kui ma ei ütle G, mis on '' Ma ei saa kunagi öelda, et G on tõsi ', siis G ontõsija ma olen reegleid rikkunud.


Seega on võimatu olla täiesti täpne ja täiesti universaalne, ütles Gödel. Tõotuse näite mõttes tähendab see seda, et tegelikult ei saa keegi olla nii aus kui ka täielik; on mõned väited, mida ei saa kunagi öelda, kuigi need on tõesed. Kui sellel pole ikka veel mõtet, loe edasi ...

Selgitus 2: Maagiline printer

Kujutage ette, et minu printer on maagiline. Kui sisestan arvutisse tõese lause, prindib see selle lause välja. Kui sisestan arvutisse vale lause, ei tee see midagi. Vaatame põhinäite:


(Kell 12.00)

  • Mina: On päev.
  • Printer: On päeval.
  • Mina: On öö.
  • Printer: ...

Pange tähele, kuidas see on peaaegu täpselt sama mis eelmises näites - nagu mina vande all, prindib printer ka lause, kui see on tõene, ja ei tee midagi, kui see on vale. Nüüd saan lisaks lihtsatele lausetele kasutada ka eelnevalt programmeeritud käske, et panna printer mõnda keerukamat lauset uurima. Nende käsutuses on neli:

1. P (print) - see on samaväärne tekstiga 'Ma saan printida lause ___.'

  • Näiteks:
  • Mina: P on päev.
  • Printer: P on päev.
  • Või:
  • Mina: P on öösel.
  • Printer: ...

2. NP (mitte-print) - see on samaväärne tekstiga: 'Ma ei saa printida lauset ___.'

  • Näiteks:
  • Mina: NP on öösel.
  • Printer: NP on öösel.
  • Või:
  • Mina: NP on päev.
  • Printer: ...

3. DP (topelttrükk) - see on samaväärne tekstiga: 'Ma saan avalduse ___ kaks korda printida.'

  • Näiteks:
  • Mina: DP on päev.
  • Printer: DP on päeval.
  • Või:
  • Mina: DP on öösel.
  • Printer: ...

4. NDP (mitte topelttrükk) - see on samaväärne tekstiga: 'Ma ei saa lauset ___ kaks korda printida.'

  • Näiteks:
  • Mina: NDP on päeval.
  • Printer: ...
  • Või:
  • Mina: NDP on öösel.
  • Printer: NDP on öösel.

Kui sellel pole mõtet, soovitan selle uuesti läbi lugeda ja iga näide oma käiku ette kujutada. Seejärel, kui soovite olla loov, mõelge ise veel paar välja ja proovige ette kujutada, mida printer teeks.

Oletame, et kõnnin arvutist eemal ja Gödel istub minu asemele. Ta kirjutab:

  • NDP NDP

Või lihtsas keeles: 'Ma ei saa printida kaks korda', ma ei saa printida kaks korda. ' 'Mida printer teeb? Kui see prindib NDP NDP-d, siis trükib see vale lause, sest seesaabprint NDP NDP. Kuid kui see midagi ei tee, siis on NDP NDP tõsi, kuid ta keeldus seda printimast, mida ta ei peaks tegema. Selle tulemusel järeldub, et on mõned tõesed väited (antud juhul NDP NDP), mida printer ei prindi.

Kas näete, kuidas see on peaaegu täpselt sama mis eelmine näide? Mõlemal juhul näitab Gödel, et on võimatu olla täiesti tõene ja täiesti universaalne; sa ei saa kunagi öelda iga tõest väidet, ilma et ütleksid mõnda valet, või ei saa kunagi öelda ainult tõeseid asju, ilma et sind oleks sunnitud mõnda tõest väidet tagasi hoidma.