Matemaatilised paradoksid

MÄRGE: See artikkel või osa on (kahjuks) teema tõsine käsitlus.

Erinevalt enamikust RationalWikist puudub selles sarkasm, satiir ega huumor üldiselt.


Osa a
konvergent seeria edasi

Matemaatika
Ikoon math.svg
1 + 1 = 11


 pagecolor {LimeGreen}  begin {joondamine} 3x-5y & = 6 \ 2x + 4y & = 2 \ x =? ; y & =?  end {joondama} See artikkel / jaotis käsitleb matemaatilisi mõisteid, mis sobivad keskkooli keskel või lõpus õppijale.


Matemaatilised paradoksid on väited, mis on vastuolus inimese intuitsiooniga, mõnikord lihtsatel, mängulistel viisidel, mõnikord aga äärmiselt esoteerilistel ja sügavatel viisidel. Võib-olla ei tohiks olla üllatus, et sama rikka ajalooga alal kui matemaatika peaks neid palju olema. Need ulatuvad väga lihtsatest igapäevastest mõistlikest probleemidest kuni edasijõudnuteni matemaatika piirimail. Seetõttu on selles artiklis ülal nii palju teadmiste taseme kaste.


Sisu

Lihtsad igapäevased paradoksid

Võib-olla tuntuim paradoks on Valetaja paradoks :

Allpool toodud väide vastab tõele.
Ülaltoodud väide on vale.

Need on mõnikord kirjutatud kaardi kahele küljele ('Teise külje väide on tõene.' / 'Teise poole väide on vale.'), Et saaks vaadata, kuidas inimene kaarti ümber pöörab.

Selle õppetund on selge: see, et lause teeb avalduse, ei tähenda, et see väide oleks tõsi. (Muidugi, see on hea asi, millest üldiselt teadlik on.)



See paradoks on seotud paljude teistega, mis on tegelikult üsna sügavad, näiteks Gödeli mittetäielikkuse teoreem. Seda seetõttu, et see läheb südamesse, mida tähendab lause „tähendamine“.


Numbrilise tõlgendamise paradoks

Mõelge fraasiga kirjeldatud numbrile

Ruutjuur kolmkümmend kuus

Fraasid võivad ju numbreid selgelt ja üheselt tähistada, kas pole? Nüüd kaaluge seda


Väikseim loomulik arv, mida ei saa kirjeldada lühema kui saja tähega fraasiga

Lühemate kui 100 tähega fraaside arv on piiratud. Tegelikult ei saa see olla suurem kui 27. (27 lubab sõnade vahele tühikuid paigutada. Suuremate tähemärkide kasutamisel suureneb maksimaalne arv näiteks vene kirillitsa tähestikuga 34-ni.) fraasid peavad olema piiratud. (See on tegelikult palju vähem kui 27 - „Elementaarne, mu kallis Watson” ei tähista arvu.) Kuid neid on lõpmatu arv looduslikud arvud (positiivsed täisarvud), nii et pole raske mõista, et selles numbris peab olema esimene number. Kuid seda numbrit, mis iganes see ka pole, on eespool tsiteeritud fraas õigesti kirjeldanud, mis on lühem kui 100 tähte!

Selle õppetunnid on

  • Aritmeetika, isegi lihtne täisarvu aritmeetika, võib olla keeruline.
  • Mida tähendab fraasi arvu tähistamine, pole täpselt määratletud.

Veelkord võib see, et midagi tähendab midagi tähendama, olla väga libe.

Hulgateooria paradoksid

Matemaatikute katsed ainet tõeliselt ettevaatlikult vormistada on viinud hulga teooria , mis võib olla äärmiselt arenenud teema. Kuid isegi lihtne igapäevane hulgateooria mõiste viib selleni:


Linnajuuksur, kes on mees, ajab raseerima täpselt kõiki linna mehi, kes ise ei aja.

Nii et habemeajaja raseerib ennast või mitte?

Selle õppetund on see, et see, mida tähendab see, kui miski on komplektis, on keeruline ja see, mida tähendab lause, kui avaldus komplekti kuulumise kohta on keeruline. Veelkord, tähendab 'tähendus' (tuntud ka kui ' semantika ') tuleb kõne alla.

Sel moel palju arenenum paradoks, mis on kõigist paradoksidest kõige tuntum, on Russelli paradoks (Bertrand Russell, 1872–1970). Kui matemaatika vormistatakse uskumatult ettevaatlikult, nagu Russell, Whitehead ja teised tegid 1930ndatel, on kõik komplekt. Jah, iga matemaatiline objekt on komplekt. Ja mis tahes jah / ei-küsimusele, mida võiksite asjade kohta küsida, koosnevad need asjad, millele vastus on jaatav, nagu ka need, millele vastus on ei.

Kui kellelegi antakse vabadus hulgateoorias üldse midagi teha, võib hulk end ise sisaldada. (Kuigi enamik komplekte seda ei tee.) Russelli paradoks on mures

  • Kõigi komplektide komplekt, mis ei sisalda iseennast.

Ilmselt on selles probleem. Kas see komplekt sisaldab ennast või mitte? Tunnid on

  • Hulgateooria on tõesti väga keeruline.
  • Me ei saa lubada, et teoreetikud saaksid teha midagi.

Matemaatikud on loonud Zermelo-Fraenkeli aksioomid vormistada kogumiteooria, et neid probleeme ei tekiks.

Loogika paradoksid

1930. aastate matemaatikud üritasid loogikat ennast väga rangelt vormistada, see tähendab, mida tähendab 'teoreemi' tõestamine. Arvestades, kui raske on tähendusele tähendust omistada, pole üllatav, et tekkis hämmastav probleem: Gödeli mittetäielikkuse teoreem .

Esiteks pidid matemaatikud väga rangelt ja põhjalikult kindlaks tegema, mida tähendab väite „tõene” või „väär” olemasolu ja mida tähendab see, kui miski on sellise asja „kehtiv tõestus”. Kui see oli tehtud, ilmus loogika „Püha Graal”: kas võime öelda, et iga väite puhul, mille tõde või vale on hästi määratletud,

  • See on tõsi ja on tõendeid, et see on tõsi.

või

  • See on vale ja on tõendeid selle kohta, et see on vale. ?

Selle 'Püha Graali' otsimine pole uus. 1600ndatel aastatel Gottfried Wilhelm Leibniz väljendas soovi loogilise analüüsi, deduktsiooni ja arvutuse abil vastata igale küsimusele (matemaatilisele või muule!).

Seda ei tohtinud olla. Gödeli mittetäielikkuse teoreem ütleb, et pole võimalik sõnastada järjepidevaid loogikaseadusi nii, et iga hästi vormistatud väite puhul oleks kas tõestus selle tõesuse kohta või tõestus vale kohta.

See teoreem on seotud arvutiteaduse teoreemiga: Isegi ideaalse sõnastuse korral, mida arvuti suudab, pole arvutiprogrammil võimalik uurida kõiki teisi arvutiprogramme ja öelda kindlalt, kas mõni programm peatub või jätkake igavesti. Seda nimetatakse peatumisprobleemiks.

Analüüsi ja mõõduteooria paradoksid

Kui on uuritud täpsemat analüüsi (st arvutust), topoloogiat ja eriti mõõteteooriat, võib näha paljusid paradoksaalseid asju. Mõned neist hõlmavad Cantori komplekti ja Cantori funktsiooni. Cantori komplekt (lühidalt defineeritud kui need reaalarvud vahemikus 0 kuni 1, mille esitus baasis 3 sisaldab ainult 0 ja 2) on loendamatu hulga nulli hulk. Kuigi see pole iseenesest paradoksaalne, on see üsna ootamatu tulemus. Cantori funktsioon on selline funktsioon, et f (0) = 0, f (1) = 1, f on kõikjal pidev ja f on diferentseeritav tuletisnulliga 'peaaegu kõikjal', see tähendab, välja arvatud mõõdikute komplekt null. See rikuks keskmise väärtuse teoreemi, kui seda teoreemi tegelikult rakendataks.

Siin on õppetund, et inimese sisetunne selle kohta, kuidas asjad peaksid välja nägema, võib kõrgtasemel olla väga eksitav.

Mõõteteooria pakub huvitavaid paradokse. Selleks ajaks, kui inimene on õppinud arenenud arvutust ja topoloogiat, on ta näinud palju väga kummalisi komplekte. Mõõteteooria üritab määrata komplektidele geomeetrilise suuruse. Muidugi tahame, et lihtsa hulga mõõt vastaks meie intuitsioonile - ühes dimensioonis peaks intervalli [-4, 5] mõõt olema 9. Kahes dimensioonis peaks kõigion ühikuring ja sellel on mõõt, ja nii edasi. Me tahame, et kattuvate komplektide liidu mõõt oleks nende komplektide meetmete summa jne. Lebesgue'i mõõt (riimub ebamäärasega; ja s vaikib) on aktsepteeritud mõõteteooria. See sobib ühise intuitsiooni alla kuuluvate komplektide ühise intuitsiooniga. Aga mitte kõik komplektid pole Lebesgue'i mõõdetavad .

Lisaks pealtnäha paradoksaalsele eksisteerimisele mitte-Lebesgue-mõõdetavate komplektide seas on veel mõned tõsisemad paradoksid. Võib-olla kõige kuulsam on Banach-Tarski paradoks . See ütleb, et kolmemõõtmelise sfääri saab jagada lõplikuks hulgaks alamhulkadeks (täpsemalt 5), mis nende kuju või suurust muutmata , saab uuesti kokku panna kaheks sfääriks, millest igaüks on identne algsega. See rikub muidugi kõike seda, mida arvasime teadvat selle kohta, mida 'meede' peaks tähendama. See, kuidas paradoks selle trikiga ära saab, on see komplektid pole mõõdetavad .

Siinkohal on õppetund: keerukate komplektide käsitlemisel, mis võivad tekkida täpsema analüüsi käigus, võib geomeetriline intuitsioon halvasti ebaõnnestuda. Ja eriti kahtlased on mittemõõdetavad komplektid (hind, mida tuleb maksta täpsema analüüsi ja topoloogia eest).

Valitud aksioom

The valitud aksioom (AC) on lihtsal tasemel üsna lihtne öelda, kuid sellel on väga täpne tähendus, mida tuleb mõista, et mõista, mida tegelikult mõeldakse. Mitteametlikult öeldakse, et mis tahes komplektide kogumi korral saate alati valida elemendi neist, ilma et oleks vaja täpsustada, millist elementi või kuidas valite. Niikaua kui meid huvitavad ainult piiratud komplektid, pole selle üle poleemikat. Kuid lõpmatu hulga puhul on juhtumeid, kus te ei saa tegelikult öelda, kuidas vajaliku valiku teete.

Pikka aega oli küsimus, kas Zermelo-Fraenkeli (ZF) kogumiteooria vaieldamatute aksioomide põhjal on võimalik seda tõestada või mitte. 1962. aastal näidati, et see on ZF-ist sõltumatu, nii et seda tuleb võtta aksioomina. ZF aksioomisüsteemi koos valitud aksioomi täiendava eeldusega nimetatakse ZFC-ks.

Konstruktivistlikud matemaatikud (ja mõned teised) eelistavad tavaliselt tõendeid, mis ei vaja vahelduvvoolu, põhjendusel, et sellised tõendid on „puhtamad“. Mõned tõendid on aga AC-i eeldamisel oluliselt puhtamad, pakkudes paljude teoreemide jaoks elegantsi ja üldisust. Valikaksioomi juures on tähelepanuväärne see, et mõlemad aktsepteerivad seda ja selle tagasilükkamine viib asjadeni, mis tunduvad paradoksidena. AC aktsepteerimine viib mõõteteoorias Banach-Tarski paradoksini. Selle tagasilükkamine osutub suuruse mõiste erinevaks rikkumiseks, eriti ilma vahelduvvooluta pole võimalik tõestada, et kui kahel komplektil pole sama arv elemente, peab ühel neist olema vähem elemente.

Praktikas pole see oluline. Vahelduvvoolu kasutamine ei too kaasa tulemusi, mis on tõsises mõttes „valed“. Pigem satuvad matemaatikud Mortoni kahvliharude külge kinni. Isegi aktsepteerides ainult mõistlikku veendumust, võime leida järeldusi, mis tunduvad kummalised, kuid tüütud müstifitseerivad, mis see ka pole.